千斤頂與壓力表校驗張拉力與表值回歸分析
詳細論述了千斤頂與壓力表校驗張拉力與表值回歸分析法。
規范規定，預應力混凝土用千斤頂與壓力表的 定期檢測時，兩者應視為一個單元，同時校驗，配套 校驗，其目的為確定千斤頂張拉力（kN)與壓力表讀 數（MPa)之間的關系曲線。校驗單位用標準測力儀 對千斤頂進行力值校驗，得出壓力表讀數值（以下 簡稱表值）和與其對應的標準測力儀顯示值（下簡 稱力值）。以某頂號為2013，表號為7707的校驗數 據為例，進行回歸分析，以揭示由實驗檢測結果反映 物理量力值與表值之間關系的內在規律，并找出它 們之間的定量表達式-回歸方程。
1.回歸分析
實驗已證明，千斤頂拉力值與壓力表讀數值之 間回歸關系是一元線性回歸，也可以從散點圖觀察 得知。我們根據表1的數據，找出千斤頂拉力（設 為y)和表值(設為x)兩個變量間的經驗公式：
y = b +ax (1)
(1)式就叫做y對x的回歸線（也就是回歸方程)
由于建立兩個變量間直線關系的方法有多種， 所以不同人，用不同方法，所得到的系數a、b可能不 同。下面介紹建立兩個變量y、x之間直線關系式的 幾種常用方法，供大家參考和比較使用。
(1)作圖法:以表1值為例 在坐標紙上作圖，以橫坐標代表表值，以縱坐標 代表力值，將表1中10對測試值繪于圖，可得10個 點，通過10點劃過一直線使兩邊分布均勻，這條直 線表示y = b + ax，就是力值與表值的相關式，延長
直線使之與縱坐標y軸相交，這個交點至零點（坐標 原點）的距離即為截距b值，直線與x軸交角a的 正切，即為斜率，斜率a = tgx =Ay/Ax。以表1值求 a值，可以量取圖上Ay、Ax長度，也可量a角，也可 選任意兩點計算，如表1的第2和第8組計算： a=Ay/Ax= (821. 8 - 126. 4) /(42 - 6) =695. 4/36 =19. 32
b =0(第 1 組 x = 0，y =0) 這時力值與表值的關系式 y =b +19. 32x (2)
值得注意的是用作圖法求兩個變量之間直線經 驗公式時，特別要注意b與a的正負號，當因變量y 隨自變量x增大而增大，或隨x值減小而減小時則 斜率為正號，反之為負值，其相關系數Y可用后面 將介紹的簡易近似法求得，本例：丫 = - cos(10/10) n =1
（2）選點法
先將力值與表值重新按大小次序排列（本例已 按大小順序排列），在10對測試值中大小向兩端任 選一對測試值，建聯立方程: y1 =b + ax[ y2 =b + ax,
如選第2對和第8對測試值，解聯立方程 126. 4 =b +a >6 821. 6 =b +a X42 求得 b =1. 05 a = 19. 3166
則相關關系式為：y = 1. 05+19. 3116x (3)
（3）平均法
把各組值按大小排列，再分成前5對為一組，后 5對為另一組，求出兩組測試值x和y的算術平均 值，x和y。
第 1 組 X1 =60. 1 yi =1190. 1
第 2組 X2 =208. 0 =4067. 8
解聯立方程1190. 1 =b +60a
4067. 8 = b +208a
得 a = 19. 443, b =2. 36
就可得出直線關系式：y=2 36 +19. 443x (4)
(4)最小二乘法
最小二乘法原理是使各測得值與統計所得到的 關系直線間的誤差平方和為最小,這是一種常用的 統計方法。
計算結果a = 19. 426, b =5. 15,相關關系式為y =5. 15 +19. 426x (5)
上述4種求直線方程的方法都可應用，比較4 種方法得出的關系式可以看出，b值相差多,而a值 相近,所以相差不是很大,下面任選幾組值代入進行 粗略檢驗,如選第6組實測值：
以 x = 30代入(2)y =0 +19. 32 X30 =579. 6,其 與實驗‘真值” = 589. 3,誤差為1. 6%。
以 x = 30代入（3)得出 y = 1. 05+19. 3116 X30 = 580. 5,其與實驗真值”y =589. 3,誤差為1. 5%。
以 x = 30代入（4)得出 y=2. 36 + 19. 44 X30 = 585. 6,其與實驗真值”y = 589. 3,誤差為0. 6%。
以 x = 30代入（5)得出 y=5. 15 + 19. 426 X30 = 587. 8,其與實驗“真值” y = 589. 3,誤差為 0. 25%。
由于這4種方法求得的相關系數都近似于1。 利用表1數據不用求相關回歸方程,直接內插更為 方便準確,這也是規范不要求必須求回歸方程,而檢 測單元也提示“對所需要的負荷點,可通過內插法 求得的原因。
2.線性回歸方程的效果檢驗
(1)相關系數檢驗:在實際工作中,只有當x和 y之間存在某種線性關系,所配出的直線才有意義。 檢驗回歸線有無意義。數學上引進相關系數T這 個量，Y的絕對值越接近1, x與y的線性關系越好， 如果T接近于0,則認為x與y之間沒有線性關系， 但不排除x與y之間有非線性關系，T的正負號取 決于回歸線斜率a的符號,對所分析的自變量x和 因變量y,只有當相關系數Y的絕對值大于一定程 度,才可能用回歸線來表示他們之間的關系,這要通 過‘相關系數檢驗表”檢驗,表中數叫做相關系數起 碼值,只有求出相關系數大于表中數,才能考慮用直 線來表述x與y的關系，‘相關系數檢驗表”一般數 理統計書中都有,今摘錄如表2。
可以看出測試的組越多,起碼值越小,某標千斤 頂與壓力表值得相關系數Y遠大于表2的起碼值 0. 632和0. 765,說明直線關系數非常明顯、密切,這 也是檢測單元說明中不用求回歸方程,可直接用內 插法求解的依據。
(2)回歸方程效果檢驗
前面已述，回歸方程在一定程度上反映兩個量 之間的內在規律,但在求出回歸方程后,如何利用 它,根據自變量x的取值來控制因變量y的取值,以 及控制精度如何等,都是我們所要關心的。確定a、 b的數值后建立了方程，yt =b + ax；從公式中知道對 每個給定的自變量&值就有兩個y；值,即實測值y； 和推定值（或稱預測值、估計值）y;',他們之間誤差 A =y； -y；。(上面幾種回歸分析,我們已舉例算出 代表點的誤差）所以有必要進行線性回歸方程的效 果檢驗。數理統計理論已證明標準差愈小，回歸方 程預報的值愈精確(按正態分布有95. 4%的y值落 在y=b ±2s + ax之間，本例樣本標準差Sx = 1. 784)。
綜上所述,通過回歸分析、相關系數的顯著性檢 驗和回歸方程的檢驗,可知實測數據與回歸方程的 相關密切程度,主要由相關系數T來判斷，T愈接近 于1,說明相關愈密切。對回歸方程所揭示的規律 性是否明顯,以標準差s來表示,s愈小,說明回歸方 程預報越精確,反之亦然。
應該指出,在實際問題中,有時自變量和因變量 之間不一定是線性關系,而可能是某種非線性關系， 這類非線性問題可以通過變量變換,轉化為線性回 歸模型來解決,本例千斤頂拉力和壓力表值關系用 一元回歸分析計算,這只是線性回歸中最簡單的情 況,在絕大多數實際問題中,影響因變量的因素往往 不止一個,而是多個,這就需要用多元回歸分析來解 決,而多元回歸分析原理與一元回歸分析基本相同， 只是計算上復雜一點，實際操作上,二元回歸問題， 只要借用簡單計算器就可以輕易地建立二元回歸方 程，y = a+b?x +cx；,同時求得復相關系數R。
3.相關系數簡易、近似求法
將U,y;)多組值在平面上作圖（圖1),作垂線 A將點子左右均分,再作水平線B將點子上下均分，
盡量使A、B線上無點,若右上,左上、左下、右下點 數分別為 n ,巧，巧，nt,則 了 = - cos[ (n +n,) / S n ] n。
本例 n =5, n, =n, =0, n, =5 Y = - cos[ (n + n,) /6n]n = - cos[ (5 + 5) /
10]宂=1
至于因為相關系數T小于某個值如0. 9999應 進行“單點值標定”要弄清這個要求是否有必要， 本人認為應首先弄清以下幾點：
（1）何為“單點值標定”單點值是否理解為因 為檢定時標準測力儀顯示值與壓力表讀數值,線性 回歸，T不符合要求,就采用視需要的各張拉值,確 定對應的表標值做梁張拉時控制的依據,這種做法 實際上是說校準檢驗時，x、y回歸上存在大的誤差， 使得相關系數T不符合要求,實際上回歸分析對不 同點數n,有不同檢驗起碼值要求。例如:只有3個 點，P = 1時T =0. 9999也是不符合直線回歸條件 的。單點標定必須保證誤差不能出現在單點值上， 這種做法等于放棄保證率可達95%以上數理統計 法,而采用保證率只有50%單點計算法。
（2）“單點值標定”在梁片張拉時的適用性 單片梁張拉至少要單點標定10% (Tk、20% (Tk和100% ^k三個點,而一個制梁場梁片有多種,就得每 一種梁都在這個千斤頂、壓力表上有三個校準值,這 些孤立點間是否也要有建立相關系數的必要？
（3）標定時,標準測力儀顯示值準確到百分位, 壓力表讀數值為整數位,也就是說表值保留有一位 可疑數字,即有±1個單位（MPa)誤差。
我們試做以下計算,將最小二乘法得到的回歸 方程y = 5. 15 +19. 426x,用y的計算值y=587. 8代 入求x = 29. 9933MPa,而單點x真值x = 30,誤差A =30 - 29. 9933 =0. 0067 (MPa),這與檢定表值誤差 0. 5MPa相差兩個數量級,而且0. 0067MPa這個值 在壓力表上根本反應不出來(表刻度值為1MPa)。
